Un divertente paradosso geometrico: un angolo retto è anche ottuso
Quello che segue è un piccolo rompicapo geometrico che non mancherà di stupire anche i matematici più competenti.
Le figure sono tracciate grossolanamente giusto per dare un’idea, ma i maniaci del tecnigrafo si sentano liberi di ridisegnarsele a piacimento. La dimostrazione, invece, è rigorosa.
Chi non riuscisse a capire qual è il trucco può chiedermelo privatamente, non pubblicherò la soluzione, almeno non subito. Ma mi raccomando, non credete che un angolo retto sia anche un angolo ottuso: il trucco c’è ma non si vede (o si vedo pochissimo)
Buon divertimento!
Si prenda un rettangolo ABCD
Dal punto B si tracci un segmento BE di lunghezza uguale a BC ( e, di conseguenza, anche uguale ad AD)
Si tracci il segmento DE. Visto che BE=BC, il punto E non potrà trovarsi sul prolungamento di DC, per cui l’angolo CDE non è nullo.
Si calcolino i punti medi H e K relativamente di DC e di DE, e da essi si traccino le mediane relative ai segmenti che, non essendo paralleli, si dovranno incontrare in un punto che chiameremo L.
Si unisca L con B ed E e con A e D
e si considerino i triangoli ottenuti LBE e LAD
I triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli, in quanto hanno:
BE=AD
LE=LD in quanto lati di un triangolo isoscele LDE
LB = LA in quanto lati del triangolo isocele LBA (la mediana di CD è anche la mediana di AB)
In particolare saranno congruenti gli angoli LAD e LBE.
Ma visto che LAB e LBA sono congruenti perchè angoli alla base di un triangolo isoscele, ne risulta che l’angolo BAD è congruente all’angolo ABE e cioè un angolo retto che è anche ottuso!
SOLUZIONE
Il procedimento dimostrativo è rigorosamente corretto ed i triangoli LAD e LBE sono effettivamente congruenti. Eseguendo il disegno con maggior precisione però si scopre che il triangolo LBE è sempre esterno all’angolo ABC per cui il paradosso non sussiste più.
Il punto L, l’incrocio delle due mediane, è stato preso troppo vicino al rettangolo: in realtà le mediane si incontrano molto più lontano specie se BE è molto vicino a BC.
La figura sotto (che, va detto, è solo un’approssimazione per motivi di spazio) rende l’idea di come stanno le cose nella realtà.
Molto subdolo, ma anche molto carino, no?
Grazie mille…e io dovrei pensare all’orale di dopodomani. ora avrò triangoli in testa tutto il giorno.
ma siamo sicuri che LDE sia isoscele??? a me sembra impossibile per costruzione, ragion per cui LE diverso da LD e i due triangoli non sarebbero congruenti, e neanche i due angoli incriminati!
Eh eh eh!
Ho lasciato anche un velato suggerimento nel testo… ci sono tutti gli elementi per svelare l’arcano. Posso però girarti la soluzione tramite email… anche se equivarrebbe ad arrendersi
@ Fabri
LDE è isoscele perchè LK è, per costruzione la mediana (perpendicolare passante per il punto medio di un segmento) di DE per cui qualunque punto giacente sulla retta del segmento LK unito con D e con E, genera un triangolo isoscele.
Il segmento BE non giace sullo stesso piano del rettangolo iniziale quindi l’angolo è sempre retto ma su due piani differenti, solo che l’effetto della rappresentazione in 2d lo fa sembrare sia retto che ottuso. Giusto?
@ Lex
Sorried, no.
Il trucco è molto molto più “subdolo”…
L’angolo LBE (quello segnato dall’archetto e dal pallino) deve essere maggiore di 180°, per cui la figura, è qualitativamente errata.
@ Castigliano
Bingo!!!
Oggi pomeriggio aggiorno l’articolo con la soluzione!
L’invito ad usare il tecnigrafo c’era…
ehm…… sarà l’ora tarda, ma non ci arrivo nonostante la soluzione!!!! sigh…. Che vuol dire che LBE deve essere maggiore di 180°?
come non detto…. ho capito, ora. Si vede che era davvero la stanchezza
L’angolo EBL è uguale all’angolo DAL, ma… gli angoli identificati con il pallino non sono uguali tra di loro. infatti, la posizione degli angoli retti è differente in ciascuno dei due triangoli.
Ecco la soluzione come già annunciata da Castigliano.
E’ possibile dimostrare geometricamente che l’angolo LBE è sempre maggiore di 180°, ma penso che un’immagine esplicativa chiarisca più 20 righe di formule e mantenga il problema per quello che vale, ovvero matematica ricreativa.
Un saluto a tutti e alla prossima
Molto subdolo, ma anche molto carino, no?
Più che subdolo direi acuto
che il disegno sia ingannevole lo si capisce dal fatto che i due triangoli sono effettivamente congruenti per costruzione, ma è impossibile che gli angoli in L siano uguali, data la simmetria con A e B e invece la diversa inclinazione andando verso D o verso E. CIA’!