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Nella sala da pranzo di una pensione, durante il pasto prese il via una conversazione sul modo di calcolare la probabilità dei fatti.

Un giovane matematico, che si trovava fra i presenti, prese una moneta e disse:

- Se lancio la moneta sul tavolo, che probabilità ci sono che cada con la croce in alto?

- Innanzi tutto, faccia il favore di spiegare cosa intende dire con probabilità – disse una voce – non per tutti è chiaro.

- È molto semplice! La moneta può ricadere sul tavolo in due modi: con la croce in alto o in basso. Il numero di casi possibili è uguale a due, dei quali, per quel che ci interessa, solo uno è favorevole. Da quanto detto si deduce la seguente relazione:

(numero di casi favorevoli)  / (numero di casi possibili) = ½

La frazione ½ esprime la probabilità che la moneta cada con la croce in alto.

- Con la moneta é molto semplice – aggiunse uno – vediamo un caso più complesso, quello dei dadi ed esempio.

- Benissimo, esaminiamolo – accettò il matematico -.

Abbiamo un dado, ovvero un cubo con diverse cifre sulle facce. Che probabilità ci sono che lanciando il dado sul tavolo, questo cada con una deteminata cifra in alto, ad esempio il sei? Quanti sono qui i casi possibili? Il dado può fermarsi su una qualsiasi delle sei facce, il che significa che ci sono sei possibili diversi casi. Di essi, solo uno è favorevole per i nostri presupposti, cioè quando esce il sei sulla faccia superiore. Di conseguenza. la probabilità si ottiene dividendo uno per sei, ovvero si esprime con la fiazione 1/6.

- Sarebbe possibile determinare le probabilità in tutti i casi? – chiese uno dei presenti – Prendiamo il seguente esempio. Io dico che la prima persona che passerà davanti al balcone della sala da pranzo sarà un uomo. Che probabilità ho che si verifichi?

- Evidentemente, la probabilità e uguale a ½, se conveniamo sul fatto che nel mondo ci siano tante donne quanti uomini, e se consideriamo adulti tutti i bambini con più di un anno.

- Che probabilità ci sono che i primi due passanti siano entrambi uomini? – chiese un altro del gruppo.

- Questo calcolo è molto più complesso. Enumeriamo i casi che potrebbero presentarsi. Primo: è possibile che i due passanti siano uomini. Secondo: che prima passi un uomo e poi una donna. Terzo: che prima passi una donna e poi un uomo. Quarto: che entrambi i passanti siano donne. Di conseguenza, il numero dei casi possibili è uguale a 4; di questi solo uno, il primo, ci e favorevole. La probabilità verrà quindi espressa con la frazione ¼. Ed ecco qui risolto il suo problema.

- Ho capito. Però potrei farle la stessa domanda riguardo a tre uomini. Quali sarebbero le probabilità che i primi tre passanti siano tutti uomini?

- Bene, calcoliamo anche questo caso. Cominciamo con l’individuare i casi possibili. Per due passanti, il numero di casi possibili. come già sappiamo, è uguale a quattro. Aggiungendo un terzo passante, il numero dei casi possibili si duplica, dato che a ogni gruppo dei quattro enumerati, composto da due passanti, bisogna aggiungere sia un uomo che una donna. In totale, il numero dei casi possibili sarà di 4 · 2 = 8. Evidentemente, la probabilità sarå uguale a 1/8, perché abbiamo solo un caso favorevole. Da quanto detto si deduce la regola per effettuare il calcolo: nel caso di due pedoni, la probabilità sarà di ½ · ½ = ¼; quando si tratta di tre, ½ · ½ · ½ = 1/8; nel caso di quattro, le probabilità si otterranno moltiplicando consecutivamente quattro volte ½, e cosi di seguito. Come vediamo, la grandezza della probabilità va diminuendo.

- Quale sara il suo valore, ad esempio. per dieci passanti?

- Di sicuro, si riferisce al caso che i primi dieci passanti siano tutti uomini. Prendendo ½ come fattore per dieci volte, otterremo 1/1024 , ovvero meno di un millesimo. Ciò significa che se scommette con me un rublo sul passaggio consecutivo di dieci uomini, io posso puntarne mille sul contrario.

- Che scommessa vantaggiosa! – esclamò uno – Sarei ben contento di rischiare un rublo per avere la possibilità di vincerne mille.

- Tenga però conto che ci sono mille probabilità contro una.

- E allora? Rischierei volentieri un rublo contro mille, anche nel caso che si richiedesse che i primi cento passanti fossero tutti

uomini.

- Si rende conto di quanto infima sarebbe la probabilità di vittoria in questo caso? – chiese il matematico.

- Sicuramente una su un milione. o qualcosa del genere.

- Molto meno! Una su un milione, risulta quando si tratta di venti passanti. Per cento sarà…  Permettetemi di calcolarlo approssimativamente. Un bilione. un trilione, un quadrilione …. Oh, una cifra formata da un uno seguito da trenta zeri!

- Niente di più?

- Le sembrano pochi zeri? be gocce d’acqua che formano l’oceano non arrivano nemmeno alla millesima parte di un tale numero.

- Che cifra imponente! In questo caso, quanto dovrebbe puntare lei contro il mio rublo?

- Mah! Tutto quello che ho.

- Mi sembra eccessivo. Si giochi la sua moto. Sono sicuro che non lo farà.

- E perché no? Molto volentieri invece! Punto la mia moto, se ci tiene. Non rischio nulla nella scommessa.

- Sono io quello che non rischia nulla; in fin dei conti, un rublo non è una gran somma, e in cambio ho la possibilità di vincere una moto, mentre lei non guadagnenebbe quasi niente.

- Deve rendersi conto che è assolutamente certo che lei perderà. La motocicletta non sarà mai sua, mentre si può dire che ho già il rublo in tasca.

- Cosa stai facendo? – disse al matematico uno dei suoi amici, nel tentativo di trattenerlo – Per un rublo rischi la tua moto. Sei impazzito?

- Al contrario – rispose il giovane matematico – la pazzia é puntare anche un solo rublo in simili condizioni. Non posso non vincere.

- In ogni modo. esiste una probabilità.

- Una goccia d’acqua nell’oceano, anzi, in dieci oeeani. È questa la probabilità: dieci oceani dalla mia parte contro una goccia.

Che io vinca la scommessa è tanto sicuro quanto il fatto che due più due fa quattro.

- Non si entusiasmi tanto, caro il mio giovanotto – risuonò la voce tranquilla di un anziano, che fino ad allora aveva ascoltato in silenzio la disputa – Non si entusiasmi.

- Ma come, professore? Anche lei ragiona cosi…?

- Ha pensato che in questo frangente non tutti i casi hanno le stesse probabilità? ll calcolo delle probabilità si verifica concretamente solo nei casi di identica possibilità, non è vero?

Nell’esempio che stiamo esaminando… senza cercare più lontano – disse il vecchio aguzzando le orecchie – mi sembra che la realtà dei fatti stia per dimostrare proprio adesso che lei si sta sbagliando. Non sente anche lei? Sembra una marcia militare, vero?

- Cosa c’entra adesso la musica? – iniziò a dire il giovane matematico, ma tacque immediatamente. Il suo viso si contrasse in una smorfia di inquietudine. Balzò in piedi, corse alla finestra e sporse fuori la testa.

- Allora è così! – esclamò disperato – Ho perso la scommessa! Addio moto!

In pochi minuti fu tutto chiaro. Di fronte alla finestra passò sfilando un battaglione di soldati.