Compleanni e scommesse
Mi ha sempre affascinato il problema dei compleannni
“In una classe di 28 studenti, quante possibilità ci sono che due studenti compiano gli anni nello stesso giorno?” o più genericamente “Quanti studenti devono esserci in una classe, affinchè scommettere che ci siano almeno due compleanni nello stesso giorno, sia vantaggioso (più del 50% di possibilità)?”
Mi ha sempre affascinato perchè la soluzione è nota a tutti, ed è anche sorprendente: in una classe di 28 studenti, infatti, la probabilità che due compiano gli anni nello stesso giorno, è di ben il 65%.
E affinchè la scommessa sia vantaggiosa, devono esserci almeno 23 studenti nella classe: in questo modo avrei il 50,7% di possibilità di vincere contro il 49,3%.
Invece il motivo per cui questa magia non è sempre così chiaro e le spiegazioni che ricevo quando lo pongo, sono spesso vaghe: “Fa i calcoli e vedrai che è così“, oppure “E’ per le leggi della probabilità” e via dicendo…
Ho deciso di mettere nero su bianco questi benedetti conti così da poter controbattere “Guarda su http://www.gianpierobiancoli.it/compleanni-e-scommesse.html” 
A prima vista, la risposta più semplice è che, per avere una probabilità soddisfacente, occorrano (365/2)+1 studenti, ovvero 183.
In realtà occorre tenere sempre a mente che col crescere degli studenti la probabilità non cresce in maniera lineare, ma esponenziale (per la precisione non esattamente esponenziale, ma rende l’idea) e, ragionando all’inverso, questo aspetto si coglie meglio.
Ad esempio, infatti, la probabilità P che 2 studenti NON compiano gli anni nello stesso giorno è di (365 x 364) / 3652e cioè 0,9973, ovvero il 99,73%.
Se gli studenti diventano 3, P diventa (365 x 364 x 363) / 3653e cioè 0,9918, ovvero il 99,18%.
Generalizzando, si ha che per un numero N di studenti, la probabilità che NON compiano gli anni nello stesso giorno, è di (365 x 364 x 363 x … x (365 – N +1)) / 365N.
Si apprezza visibilmente che la velocità con cui cala P al crescere di N, non è lineare e compilare la tabella che segue, con le probabilità di compleanno simultaneo in base al numero degli studenti, diventa un semplice esercizio di calcolo.
|
STUD.
|
PROB.
|
STUD.
|
PROB.
|
STUD.
|
PROB.
|
STUD.
|
PROB.
|
|||
|
2
|
0,27 %
|
22
|
47,57 %
|
42
|
91,4 %
|
62
|
99,59 %
|
|||
|
3
|
0,82 %
|
23
|
50,73 %
|
43
|
92,39 %
|
63
|
99,66 %
|
|||
|
4
|
1,64 %
|
24
|
53,83 %
|
44
|
93,29 %
|
64
|
99,72 %
|
|||
|
5
|
2,71 %
|
25
|
56,87 %
|
45
|
94,1 %
|
65
|
99,77 %
|
|||
|
6
|
4,05 %
|
26
|
59,82 %
|
46
|
94,83 %
|
66
|
99,81 %
|
|||
|
7
|
5,62 %
|
27
|
62,69 %
|
47
|
95,48 %
|
67
|
99,84 %
|
|||
|
8
|
7,43 %
|
28
|
65,45 %
|
48
|
96,06 %
|
68
|
99,87 %
|
|||
|
9
|
9,46 %
|
29
|
68,1 %
|
49
|
96,58 %
|
69
|
99,9 %
|
|||
|
10
|
11,69 %
|
30
|
70,63 %
|
50
|
97,04 %
|
70
|
99,92 %
|
|||
|
11
|
14,11 %
|
31
|
73,05 %
|
51
|
97,44 %
|
71
|
99,93 %
|
|||
|
12
|
16,7 %
|
32
|
75,33 %
|
52
|
97,8 %
|
72
|
99,95 %
|
|||
|
13
|
19,44 %
|
33
|
77,5 %
|
53
|
98,11 %
|
73
|
99,96 %
|
|||
|
14
|
22,31 %
|
34
|
79,53 %
|
54
|
98,39 %
|
74
|
99,96 %
|
|||
|
15
|
25,29 %
|
35
|
81,44 %
|
55
|
98,63 %
|
75
|
99,97 %
|
|||
|
16
|
28,36 %
|
36
|
83,22 %
|
56
|
98,83 %
|
76
|
99,98 %
|
|||
|
17
|
31,5 %
|
37
|
84,87 %
|
57
|
99,01 %
|
77
|
99,98 %
|
|||
|
18
|
34,69 %
|
38
|
86,41 %
|
58
|
99,17 %
|
78
|
99,99 %
|
|||
|
19
|
37,91 %
|
39
|
87,82 %
|
59
|
99,3 %
|
79
|
99,99 %
|
|||
|
20
|
41,14 %
|
40
|
89,12 %
|
60
|
99,41 %
|
80
|
99,99 %
|
|||
|
21
|
44,37 %
|
41
|
90,32 %
|
61
|
99,51 %
|
In conclusione, con 23 studenti la probabilità comincia a superare il 50%, sopra i 30 studenti ci sono già ottime possibilità di vincere (sopra il 70%) e con più di 50 individui si ha quasi la certezza di non perdere.
Dunque, se vi trovate in classe, al lavoro, in un’assemblea condominiale, in una gita in pullman, in fila al supermercato e volete fare scommesse di questo tipo…usando questi consigli non potrete perdere!!
