Blog di Gian Piero Biancoli » Matematica ricreativa

La scommessa

gpbiancoli — Wed, 27 Apr 2011 15:08:49 +0000

Intrigante racconto per dimostrare che la scienza dei numeri non è sempre così inesorabile e che occorre tener sempre conto di eventuali fattori esterni. Sempre!

Buona lettura.

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Nella sala da pranzo di una pensione, durante il pasto prese il via una conversazione sul modo di calcolare la probabilità dei fatti.

Un giovane matematico, che si trovava fra i presenti, prese una moneta e disse:

- Se lancio la moneta sul tavolo, che probabilità ci sono che cada con la croce in alto?

- Innanzi tutto, faccia il favore di spiegare cosa intende dire con probabilità – disse una voce – non per tutti è chiaro.

- È molto semplice! La moneta può ricadere sul tavolo in due modi: con la croce in alto o in basso. Il numero di casi possibili è uguale a due, dei quali, per quel che ci interessa, solo uno è favorevole. Da quanto detto si deduce la seguente relazione:

(numero di casi favorevoli) / (numero di casi possibili) = ½

La frazione ½ esprime la probabilità che la moneta cada con la croce in alto.

- Con la moneta é molto semplice – aggiunse uno – vediamo un caso più complesso, quello dei dadi ed esempio.

- Benissimo, esaminiamolo – accettò il matematico -.

Abbiamo un dado, ovvero un cubo con diverse cifre sulle facce. Che probabilità ci sono che lanciando il dado sul tavolo, questo cada con una deteminata cifra in alto, ad esempio il sei? Quanti sono qui i casi possibili? Il dado può fermarsi su una qualsiasi delle sei facce, il che significa che ci sono sei possibili diversi casi. Di essi, solo uno è favorevole per i nostri presupposti, cioè quando esce il sei sulla faccia superiore. Di conseguenza. la probabilità si ottiene dividendo uno per sei, ovvero si esprime con la ﬁazione 1/6.

- Sarebbe possibile determinare le probabilità in tutti i casi? – chiese uno dei presenti – Prendiamo il seguente esempio. Io dico che la prima persona che passerà davanti al balcone della sala da pranzo sarà un uomo. Che probabilità ho che si verifichi?

- Evidentemente, la probabilità e uguale a ½, se conveniamo sul fatto che nel mondo ci siano tante donne quanti uomini, e se consideriamo adulti tutti i bambini con più di un anno.

- Che probabilità ci sono che i primi due passanti siano entrambi uomini? – chiese un altro del gruppo.

- Questo calcolo è molto più complesso. Enumeriamo i casi che potrebbero presentarsi. Primo: è possibile che i due passanti siano uomini. Secondo: che prima passi un uomo e poi una donna. Terzo: che prima passi una donna e poi un uomo. Quarto: che entrambi i passanti siano donne. Di conseguenza, il numero dei casi possibili è uguale a 4; di questi solo uno, il primo, ci e favorevole. La probabilità verrà quindi espressa con la frazione ¼. Ed ecco qui risolto il suo problema.

- Ho capito. Però potrei farle la stessa domanda riguardo a tre uomini. Quali sarebbero le probabilità che i primi tre passanti siano tutti uomini?

- Bene, calcoliamo anche questo caso. Cominciamo con l’individuare i casi possibili. Per due passanti, il numero di casi possibili. come già sappiamo, è uguale a quattro. Aggiungendo un terzo passante, il numero dei casi possibili si duplica, dato che a ogni gruppo dei quattro enumerati, composto da due passanti, bisogna aggiungere sia un uomo che una donna. In totale, il numero dei casi possibili sarà di 4 · 2 = 8. Evidentemente, la probabilità sarå uguale a 1/8, perché abbiamo solo un caso favorevole. Da quanto detto si deduce la regola per effettuare il calcolo: nel caso di due pedoni, la probabilità sarà di ½ · ½ = ¼; quando si tratta di tre, ½ · ½ · ½ = 1/8; nel caso di quattro, le probabilità si otterranno moltiplicando consecutivamente quattro volte ½, e cosi di seguito. Come vediamo, la grandezza della probabilità va diminuendo.

- Quale sara il suo valore, ad esempio. per dieci passanti?

- Di sicuro, si riferisce al caso che i primi dieci passanti siano tutti uomini. Prendendo ½ come fattore per dieci volte, otterremo 1/1024 , ovvero meno di un millesimo. Ciò significa che se scommette con me un rublo sul passaggio consecutivo di dieci uomini, io posso puntarne mille sul contrario.

- Che scommessa vantaggiosa! – esclamò uno – Sarei ben contento di rischiare un rublo per avere la possibilità di vincerne mille.

- Tenga però conto che ci sono mille probabilità contro una.

- E allora? Rischierei volentieri un rublo contro mille, anche nel caso che si richiedesse che i primi cento passanti fossero tutti

uomini.

- Si rende conto di quanto infima sarebbe la probabilità di vittoria in questo caso? – chiese il matematico.

- Sicuramente una su un milione. o qualcosa del genere.

- Molto meno! Una su un milione, risulta quando si tratta di venti passanti. Per cento sarà… Permettetemi di calcolarlo approssimativamente. Un bilione. un trilione, un quadrilione …. Oh, una cifra formata da un uno seguito da trenta zeri!

- Niente di più?

- Le sembrano pochi zeri? be gocce d’acqua che formano l’oceano non arrivano nemmeno alla millesima parte di un tale numero.

- Che cifra imponente! In questo caso, quanto dovrebbe puntare lei contro il mio rublo?

- Mah! Tutto quello che ho.

- Mi sembra eccessivo. Si giochi la sua moto. Sono sicuro che non lo farà.

- E perché no? Molto volentieri invece! Punto la mia moto, se ci tiene. Non rischio nulla nella scommessa.

- Sono io quello che non rischia nulla; in ﬁn dei conti, un rublo non è una gran somma, e in cambio ho la possibilità di vincere una moto, mentre lei non guadagnenebbe quasi niente.

- Deve rendersi conto che è assolutamente certo che lei perderà. La motocicletta non sarà mai sua, mentre si può dire che ho già il rublo in tasca.

- Cosa stai facendo? – disse al matematico uno dei suoi amici, nel tentativo di trattenerlo – Per un rublo rischi la tua moto. Sei impazzito?

- Al contrario – rispose il giovane matematico – la pazzia é puntare anche un solo rublo in simili condizioni. Non posso non vincere.

- In ogni modo. esiste una probabilità.

- Una goccia d’acqua nell’oceano, anzi, in dieci oeeani. È questa la probabilità: dieci oceani dalla mia parte contro una goccia.

Che io vinca la scommessa è tanto sicuro quanto il fatto che due più due fa quattro.

- Non si entusiasmi tanto, caro il mio giovanotto – risuonò la voce tranquilla di un anziano, che ﬁno ad allora aveva ascoltato in silenzio la disputa – Non si entusiasmi.

- Ma come, professore? Anche lei ragiona cosi…?

- Ha pensato che in questo frangente non tutti i casi hanno le stesse probabilità? ll calcolo delle probabilità si verifica concretamente solo nei casi di identica possibilità, non è vero?

Nell’esempio che stiamo esaminando… senza cercare più lontano – disse il vecchio aguzzando le orecchie – mi sembra che la realtà dei fatti stia per dimostrare proprio adesso che lei si sta sbagliando. Non sente anche lei? Sembra una marcia militare, vero?

- Cosa c’entra adesso la musica? – iniziò a dire il giovane matematico, ma tacque immediatamente. Il suo viso si contrasse in una smorfia di inquietudine. Balzò in piedi, corse alla finestra e sporse fuori la testa.

- Allora è così! – esclamò disperato – Ho perso la scommessa! Addio moto!

In pochi minuti fu tutto chiaro. Di fronte alla finestra passò sfilando un battaglione di soldati.

Il terzo uomo – Un delizioso problema scacchistico

gpbiancoli — Fri, 04 Jun 2010 16:00:16 +0000

Su una scacchiera ci sono soltanto due re (cfr. figura). L’obiettivo è aggiungere un terzo pezzo, in una disposizione che soddisfi i seguenti requisiti:

Nessun re è sotto scacco
La posizione può essere raggiunta rispettando tutte le regole
Si può dimostrare, analizzando a ritroso le precedenti mosse permesse, che nessuna delle due parti può giocare legalmente

Si osservi attentamente la formulazione. Non si chiede un doppio stallo, ma solo una posizione nella quale nessuno dei due possa muovere. La soluzione è unica.

Questo raffinato problemino apparve sulla rivista The Problemist (settembre 1974, pag. 471) dove era attribuito all’israeliano G.Husserl.
Nella sua versione originaria, il problema chiedeva il numero minimo di pezzi da aggiungere sulla scacchiera per soddisfare le condizioni, ma anche conoscendo tale numero (uno) il problema rimane di grande complessità e fascino.

L’unica soluzione consiste nel collocare un’alfiere bianco sulla scacchiera come in figura.

Il nero, ovviamente, non può muovere e neppure il Bianco per il semplice motivo che non tocca a lui. Per dimostrare che è il turno del nero a muovere basta una semplice e elementare analisi a ritroso.
La soluzione è unica perchè nessun altro pezzo posizionato in qualsiasi casella sulla scacchiera soddisferebbe la condizione “che nessuno possa muovere” perchè non eliminerebbe la possibilità che la mossa tocchi al bianco.
Un pedone bianco al posto dell’alfiere, per esempio, lascerebbe aperta la possibilità che l’ultima mossa fosse stata del Re nero da b1 ad a1 in seguito alla spinta con scacco del pedone da a3 a a2.

Ultima nota curiosa che rende il problema ancor più sorprendente e che non è volutamente mai specificato l’orientamento della scacchiera per il semplice motivo che è ininfluente.

Statistiche: occhio al paradosso di Simpson!

gpbiancoli — Tue, 16 Mar 2010 11:41:26 +0000

Avere una tesi da dimostrare è già una bella cosa. Avere dei dati che supportano la nostra tesi è una cosa ancor più bella.
Attenzione, però, a non lasciarsi prendere da facili entusiasmi: anche se i numeri non mentono, spesso possono trarre in inganno, specie se male interpretati.
Il paradosso di Simpson è, in statistica, la situazione in cui una relazione tra due fenomeni viene apparentemente modificata o persino invertita dai dati in possesso a causa di altri fenomeni non presi in considerazione nell’analisi.
Eccone alcuni esempi divertenti:

I professori di tedesco vivono più a lungo dei barbieri: fare il barbiere è dunque un mestiere a rischio?

Se si diventa professori indicativamente a 30 anni e barbieri a 18, l’anzianità è già più alta ai nastri di partenza per cui non da stupirsi più di tanto.

A guardare le dentature perfette degli scheletri ritrovati a Creta, verrebbe da chiedersi “Quale misterioso dentifricio avevano scoperto nel XV secolo a.C.?”

Nel XV secolo si moriva giovani, per cui è ovvio che le dentature fossero ancora integre.

Se per un certo tipo di operazione l’ospedale della Pietà ha una percentuale di riuscita del 70% e l’ospedale della Misericordia dell’80%, conviene farsi ricoverare in quest’ultimo?

All’operazione si sottopongono due tipi di pazienti: gravi e lievi. Se, per esempio, la Pietà tratta per il 75% casi gravi con una probabilità di riuscita del 60%, mentre sui rimanenti casi lievi, il 25%, vanta il successo totale, e la Misericordia tratta per il 75% casi lievi su cui ha il 90% di riuscita e per il 25% casi gravi su cui ha una probabilità di riuscita del 50%, ecco che la Pietà è l’ospedale più conveniente.

Nella seconda guerra mondiale, con l’introduzione degli elmetti al posto dei normali berretti, la percentuale dei feriti alla testa, invece che diminuire, aumentò. Come mai?

Quelli che prima, con il solo berretto, morivano per una scheggia alla testa, indossando un elmetto rimangono “solamente” feriti. Quindi l’aumento dei feriti, in percentuale, è ovvio.

In Arizona, è stata rilevata una percentuale di persone affette da problemi respiratori, molto più alta di quella riscontrata nel resto degli Stati Uniti. L’aria dell’Arizona causa problemi alle vie respiratorie?

Classico caso in cui la deduzione è esattamente l’opposto della realtà. Il clima dell’Arizona è particolarmente indicato per la cura delle malattie respiratorie, per questo molte persone che soffrono di tali problemi, decidono di stabilirvisi.

In base a uno studio condotto in una scuola elementare, risulta che i bambini con i piedi più grandi risultano più bravi a scrivere dei bambini con i piedi più piccoli. La dimensione dei piedi influeza, dunque, l’abilità nella scrittura?

La scuola elementare è frequentata da bambini di età diverse. E’ normale che i più grandi, che hanno anche i piedi più grandi, sappiano scrivere meglio dei più piccoli di prima e seconda elementare.

I cantanti di successo sono primogeniti. Dunque i primogeniti sono spesso i più intonati?

La percentuale dei primogeniti è sempre superiore a quella relativa ad altre categorie di figli, infatti si devono considerare primogeniti anche i figli unici

In una città dell’Europa settentrionale, si è notato un forte aumento demografico in concomitanza con un sensibile incremento dei nidi di cicogne: dunque la credenza popolare che la cicogna porti i neonati ha un fondamento?

Esempio classico di scambio causa/effetto: L’aumento demografico ha comportato la costruzione di nuovi edifici e l’aumento conseguente del numero di comignoli su cui le cicogne costruiscono il proprio nido.

Gli ultimi casi di bullismo scolastico sono stati commessi da ragazzi che navigavano spesso su youtube. Sarebbe quindi una buona idea oscurare youtube?

Esempio ricorrente nei pricipali organi di ~~dis~~informazione televisiva e giornalistica. Considerato che un’italiano su tre usa youtube e che gli utilizzatori di internet sono prevalentemente giovani, si potrebbero attribuire a youtube tutti i crimini commessi dai giovani. Da un punto di vista statistico il 90% dei rapinatori di banca indossa un paio di jeans, ma a nessuno verrebbe in mente di vietarne la vendita per ragioni di sicurezza.

P.S
Ovviamente il Simpson del paradosso non è l’Homer dell’immagine!

Compleanni e scommesse

gpbiancoli — Wed, 10 Feb 2010 17:47:12 +0000

Mi ha sempre affascinato il problema dei compleannni

“In una classe di 28 studenti, quante possibilità ci sono che due studenti compiano gli anni nello stesso giorno?” o più genericamente “Quanti studenti devono esserci in una classe, affinchè scommettere che ci siano almeno due compleanni nello stesso giorno, sia vantaggioso (più del 50% di possibilità)?”

Mi ha sempre affascinato perchè la soluzione è nota a tutti, ed è anche sorprendente: in una classe di 28 studenti, infatti, la probabilità che due compiano gli anni nello stesso giorno, è di ben il 65%.
E affinchè la scommessa sia vantaggiosa, devono esserci almeno 23 studenti nella classe: in questo modo avrei il 50,7% di possibilità di vincere contro il 49,3%.

Invece il motivo per cui questa magia non è sempre così chiaro e le spiegazioni che ricevo quando lo pongo, sono spesso vaghe: “Fa i calcoli e vedrai che è così“, oppure “E’ per le leggi della probabilità” e via dicendo…

Ho deciso di mettere nero su bianco questi benedetti conti così da poter controbattere “Guarda su http://www.gianpierobiancoli.it/compleanni-e-scommesse.html”

A prima vista, la risposta più semplice è che, per avere una probabilità soddisfacente, occorrano (365/2)+1 studenti, ovvero 183.
In realtà occorre tenere sempre a mente che col crescere degli studenti la probabilità non cresce in maniera lineare, ma esponenziale (per la precisione non esattamente esponenziale, ma rende l’idea) e, ragionando all’inverso, questo aspetto si coglie meglio.

Ad esempio, infatti, la probabilità P che 2 studenti NON compiano gli anni nello stesso giorno è di (365 x 364) / 365²e cioè 0,9973, ovvero il 99,73%.
Se gli studenti diventano 3, P diventa (365 x 364 x 363) / 365³e cioè 0,9918, ovvero il 99,18%.
Generalizzando, si ha che per un numero N di studenti, la probabilità che NON compiano gli anni nello stesso giorno, è di (365 x 364 x 363 x … x (365 – N +1)) / 365^N.

Si apprezza visibilmente che la velocità con cui cala P al crescere di N, non è lineare e compilare la tabella che segue, con le probabilità di compleanno simultaneo in base al numero degli studenti, diventa un semplice esercizio di calcolo.

STUD.	PROB.	STUD.	PROB.	STUD.	PROB.	STUD.	PROB.
2	0,27 %	22	47,57 %	42	91,4 %	62	99,59 %
3	0,82 %	23	50,73 %	43	92,39 %	63	99,66 %
4	1,64 %	24	53,83 %	44	93,29 %	64	99,72 %
5	2,71 %	25	56,87 %	45	94,1 %	65	99,77 %
6	4,05 %	26	59,82 %	46	94,83 %	66	99,81 %
7	5,62 %	27	62,69 %	47	95,48 %	67	99,84 %
8	7,43 %	28	65,45 %	48	96,06 %	68	99,87 %
9	9,46 %	29	68,1 %	49	96,58 %	69	99,9 %
10	11,69 %	30	70,63 %	50	97,04 %	70	99,92 %
11	14,11 %	31	73,05 %	51	97,44 %	71	99,93 %
12	16,7 %	32	75,33 %	52	97,8 %	72	99,95 %
13	19,44 %	33	77,5 %	53	98,11 %	73	99,96 %
14	22,31 %	34	79,53 %	54	98,39 %	74	99,96 %
15	25,29 %	35	81,44 %	55	98,63 %	75	99,97 %
16	28,36 %	36	83,22 %	56	98,83 %	76	99,98 %
17	31,5 %	37	84,87 %	57	99,01 %	77	99,98 %
18	34,69 %	38	86,41 %	58	99,17 %	78	99,99 %
19	37,91 %	39	87,82 %	59	99,3 %	79	99,99 %
20	41,14 %	40	89,12 %	60	99,41 %	80	99,99 %
21	44,37 %	41	90,32 %	61	99,51 %

In conclusione, con 23 studenti la probabilità comincia a superare il 50%, sopra i 30 studenti ci sono già ottime possibilità di vincere (sopra il 70%) e con più di 50 individui si ha quasi la certezza di non perdere.

Dunque, se vi trovate in classe, al lavoro, in un’assemblea condominiale, in una gita in pullman, in fila al supermercato e volete fare scommesse di questo tipo…usando questi consigli non potrete perdere!!

Un divertente paradosso geometrico: un angolo retto è anche ottuso

gpbiancoli — Mon, 25 Jan 2010 13:42:54 +0000

Quello che segue è un piccolo rompicapo geometrico che non mancherà di stupire anche i matematici più competenti.
Le figure sono tracciate grossolanamente giusto per dare un’idea, ma i maniaci del tecnigrafo si sentano liberi di ridisegnarsele a piacimento. La dimostrazione, invece, è rigorosa.
~~Chi non riuscisse a capire qual è il trucco può chiedermelo privatamente, non pubblicherò la soluzione, almeno non subito~~. Ma mi raccomando, non credete che un angolo retto sia anche un angolo ottuso: il trucco c’è ma non si vede (o si vedo pochissimo)
Buon divertimento!
Si prenda un rettangolo ABCD

Dal punto B si tracci un segmento BE di lunghezza uguale a BC ( e, di conseguenza, anche uguale ad AD)

Si tracci il segmento DE. Visto che BE=BC, il punto E non potrà trovarsi sul prolungamento di DC, per cui l’angolo CDE non è nullo.

Si calcolino i punti medi H e K relativamente di DC e di DE, e da essi si traccino le mediane relative ai segmenti che, non essendo paralleli, si dovranno incontrare in un punto che chiameremo L.

Si unisca L con B ed E e con A e D

e si considerino i triangoli ottenuti LBE e LAD

I triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli, in quanto hanno:
BE=AD
LE=LD in quanto lati di un triangolo isoscele LDE
LB = LA in quanto lati del triangolo isocele LBA (la mediana di CD è anche la mediana di AB)

In particolare saranno congruenti gli angoli LAD e LBE.
Ma visto che LAB e LBA sono congruenti perchè angoli alla base di un triangolo isoscele, ne risulta che l’angolo BAD è congruente all’angolo ABE e cioè un angolo retto che è anche ottuso!

SOLUZIONE
Il procedimento dimostrativo è rigorosamente corretto ed i triangoli LAD e LBE sono effettivamente congruenti. Eseguendo il disegno con maggior precisione però si scopre che il triangolo LBE è sempre esterno all’angolo ABC per cui il paradosso non sussiste più.
Il punto L, l’incrocio delle due mediane, è stato preso troppo vicino al rettangolo: in realtà le mediane si incontrano molto più lontano specie se BE è molto vicino a BC.
La figura sotto (che, va detto, è solo un’approssimazione per motivi di spazio) rende l’idea di come stanno le cose nella realtà.

Molto subdolo, ma anche molto carino, no?

Matematici, strane persone

gpbiancoli — Thu, 15 Oct 2009 15:43:31 +0000

L’aspetto più affascinante della matematica è che, nonostante rappresenti la più totale astrazione dell’intelletto, prima o poi un collegamento con la realtà ce lo regala sempre. Si parte approfondendo uno studio anche solo per curiosità o per puro piacere (l’affermazione di Pessoa che “il binomio di Newton è bello come la venere di Milo, peccato che pochi se ne accorgano” rende il concetto perfettamente) e si giunge a trovarne poi applicazione in un campo totalmente e inaspettatamente differente.
Nel 200 a.C. Apollonio di Perga sviluppava i suoi studi sulle curve ellittiche per il puro piacere estetico. Solo nel 1630 Galileo Galilei dimostrò, nel “Dialogo intorno a Due Nuove Scienze“, che il moto di un proiettile è influenzato da diverse forze e, guarda caso, segue un percorso parabolico: gli studi di Apollonio, oltre che gradevolmente estetici, diventano utili.
La storia della matematica è questa: spesso ci si avventura in meandri oscuri senza sapere dove possano portare ma con la certezza che, prima o poi, troveranno attinenza con il mondo che ci circonda al punto che Galileo stesso affermava che “la matematica è l’alfabeto col cui Dio ha scritto l’universo“.

E’ con questa premessa, che vado a presentare una carrellata di articoli che, pur stravaganti, sono stati realmente pubblicati su riviste scientifiche. Di qualcuno non è ancora chiara l’utilità, di qualcuno nemmeno si può immaginare un’utilità, ma tutti riflettono molto bene lo spirito dei matematici: persone curiose, puntigliose, anche divertenti, ma soprattutto con una buona dose di tempo da perdere.

Un modello matematico da applicare in caso di attacco da parte di Zombi

Nonostante somigli più al delirio di un ubriaco che non a uno studio matematico, questo modello ha già trovato applicazione nello studio della diffusione di malattie con infezione latente. Era troppo facile stilare equazioni sull’andamento dei virus, molto più cool farlo sugli attacchi degli zombi.
Fonti e approfondimenti : Novapublishers – Wired

Il lancio di una moneta non è un evento casuale

Il titolo spiega già tutto. Non ci si può più fidare nemmeno del buon vecchio “Testa o croce”: a patto di lanciare la monetina con una buona forza, la faccia di partenza è leggermente favorita. E’ dimostrato!
Fonte : PDF articolo completo

Storie d’amore e equazioni differenziali

Giulietta ama Romeo, ma Romeo è alquanto capriccioso. Più Giulietta dimostra amore per Romeo, più questi la disprezza. Ma nel momento in cui la passione di Giulietta comincia a raffreddarsi, quella di Romeo comincia a crescere. E’ lo studio di un evoluzione temporale di una storia d’amore tramite le equazioni differenziali. A cosa serve? Forse a far interessare gli studenti alle equazioni differenziali… forse.
Fonte : PDF articolo completo

La prova di Sommers che qualcosa esiste

Sarebbe anche un risultato confortante, se non foss’altro che l’articolo mette in evidenza che la prova di Sommers che qualcosa esiste, è sbagliata!
Fonte : PDF articolo completo

Come trovare soluzioni alle equazioni del campo di Einstein tramite errori di battitura sulla tastiera

Mentre inserivano i dati di un problema in SHEEP, un calcolatore specifico per sistemi algebrici, gli autori della tesi, avevano commesso alcuni errori di battitura. Grazie a questi errori, in seguito, hanno trovato nuove soluzioni per le equazioni del campo di Einstein. Sbagliando si impara!
Fonte : PDF articolo completo

Frammentazione dei bastoncini: perchè gli spaghetti non si rompono in due parti

Se gli spaghetti vadano o meno spezzati per cucinarli, viene lasciato decidere al gusto di ognuno.
Invece, il motivo per il quale, in caso di flessione, non si rompono mai in due parti, ma sempre in tre o più, è l’argomento della tesi di Basile Audoly e Sebastien Neukirch.
Fonte : PDF articolo completo – Filmati e approfondimenti

Il cervello di Zaphod Beeblebrox e la cinquantanovesima riga del triangolo di Pascal

Lo Zaphod Beeblebrox è davvero il personaggio della Guida galattica per autostoppisti di Douglas Adams; la serie di test che il personaggio decide di fare ai suoi due cervelli, suggerisce all’autore della tesi un approccio originale a un problema connesso al triangolo di Pascal.
Fonte : PDF articolo completo

E dulcis in fundo,

l’unico, per ovvie ragioni, non pubblicato su riviste matematiche specializzate. La risposta più interessante ad una domanda un po’ delicata posta su Yahoo Answer

Ogni commento è superfluo.

Matematici, strana gente!

Unità di grandezza e ordini di numeri

gpbiancoli — Fri, 08 Jul 2005 08:50:00 +0000

Kilobyte (KB) = 1000 bytes – 10^3bytes
2 Kilobytes: una pagina dattiloscritta
100 Kilobytes: una fotografia a bassa risoluzione

Megabyte (MB) = 1,000,000 bytes – 10^6 bytes
1 Megabyte: Un racconto breve – il contenuto di un floppy da 3,5 pollici
2 Megabytes: una fotografia ad altarisoluzione
5 Megabytes: L’opera omnia di Shakespeare
10 Megabytes: Un minuto di audio ad alta fedeltà
100 Megabytes: il contenuto di un metro di libri (impilati)
500 Megabytes: il contenuto di un CD-ROM

Gigabyte (GB) = 1,000,000,000 bytes – 10^9 bytes
1 Gigabyte: un furgone riempito di libri.
20 Gigabytes: L’opera omnia di Beethoven ad alta fedeltà
100 Gigabytes: un intero piano di una biblioteca universitaria

Terabyte (TB) = 1,000,000,000,000 bytes – 10^12 bytes
1 Terabyte: 50000 alberi ridotti in carta e stampati
2 Terabytes: Una intera biblioteca di ricerca universitaria
10 Terabytes: L’intero contenuto della biblioteca del Congresso americana (The U.S. Library of Congress) la più grande del mondo
400 Terabytes: l’intero database del centro nazionale raccolta dati e ricerca climatica (National Climactic Data Center – NOAA).

Petabyte (PB) = 1,000,000,000,000,000 bytes – 10^15 bytes
1 Petabyte: 3 anni di dati dell’EOS (Earth Observing System)
2 Petabytes: Il contenuto di tute le biblioteche universitarie americane
20 Petabytes: Tutto il contenuto di tutti gli hard-disk del pianeta de 1995.
200 Petabytes: Tutto il materiale stampato sul pianeta

Exabyte (EB) = 1,000,000,000,000,000,000 bytes – 10^18 bytes
2 Exabytes: il volume totale dell’informazione generata nel 1999
5 Exabytes: Tutte le parole parlate da tutti gli esseri umani

La fonte per le approssimazioni è http://www.sims.berkeley.edu/research/projects/how-much-info-2003/execsum.htm

Sempre in tema di grandi numeri ci sarebbero altri numeri importanti.
Per esempio
10^78 = 100…78 zeri qui in mezzo…0000 che equivale al numero stimato di atomi nell’universo.

Ma se quello precedente è solo una stima, un’ ipotesi probabilmente grossolana, quello che segue è un bellissimo esempio di come la mente umana (mente matematica) sappia andare ben oltre ogni immaginazione con

il numero di Skewes = ((e^e)^e)^79 ~ ((10^10)^10)^34

Decisamente superiore al numero di atomi (per scriverlo non sarebbe sufficiente scrivere uno zero per ogni atomo dell’universo), si fa fatica persino ad immaginarne le fattezze; eppure si sa che esiste e che segna addirittura un confine.
Il matematico che gli da il nome ha dimostrato che si tratta di un valore (il più piccolo!!) secondo cui la stima della funzione di Gauss circa il numero dei numeri primi inferiori a N (Li(N)) è minore del numero effettivo di primi inferiori a N (P(N))
E’ strabiliante, anzi hexabiliante !!!